阿基里斯能不能追得上乌龟，运动的箭矢到底是动还是不动？
古希腊人第一次接触到了无穷小带来的问题，而这次数学危机真正爆发，则是到了牛顿和莱布尼茨的年代。
他们两个人发明了用起来很方便的微积分，只是有一个问题，微积分中的无穷小量，到底是不是零？
无穷小量可能会出现在分母上，所以它就不应该为零。
可如果把无穷小量看成是零，去掉那些包含它的项，得到的公式能在力学和几何学当中的证明是正确的。
当时有人批评微积分是“恶魔的把戏”，是“用双重的错误，偶然得到了科学但不正确的结果”。
这次危机直到十九世纪，以柯西为首的数学家们，完善了极限的具体概念之后，才最终得以解决。
至于这些由悖论引发的第三次数学危机，反倒是解决得最快的一次。
德国数学家恩斯特·策梅洛和亚伯拉罕·弗兰克尔·分别在1908年和1922年提出来了两套理论，这两套理论加在一起，就成为了Z（ermelo，策梅洛）－F（raenkel，弗兰克尔）公理体系。
这个公理体系将集合的构造公理化，来排除了像罗素悖论中这样的集合的存在性，算是解决了这场数学危机。
也就是在同一年，希尔伯特想到为已经爆发了三次的数学危机，找到一种普适的解决方案。
他提出了一个名为希尔伯特计划的想法，提出将所有现有理论都建立在一组有限的完备的公理上，并给出这些公理是一致的证明。
希尔伯特希望数学是完整的，也是可判定的，希望数学建立在严谨的逻辑之上，是世界上最无懈可击的真理。
希尔伯特计划中有这样一条，也就是所谓的完备性，人们可以从公理出发，推导出所有的定理来。
如果推导不出来，那不是上面这条完备性出了问题，而是个人能力出了问题。
公理是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识，并作为判定其它命题真假的根据，不能被证明也不需要被证明。
而定理，则是从公理出发，用推理方法得到的真命题。
希尔伯特是当今世界上最伟大的数学家，他的话一言九鼎，很有号召力。
从他提出这个计划开始，数学家们就一直坚信这个计划是正确的，也都一直在试图证明它是正确的。
只是很多年过去，数学家们谁也没能得到这个证明。
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